某古早積分的隱藏結構

Contents

1. 前言
2. 正文
3. 後記

前言

在許久之前，筆者曾寫過一篇利用某奇怪公式對某函數強制做部分分式展開，以解其積分的文章。

然而，某奇怪公式寫出來後與留數的定義不謀而合，困擾了筆者許久。

在向數學系雙主資工電神朋朋請教後，得到了想要的解答，如下：

正文

注意到所有留數都是一階的，強制對 $f(z) = \frac{1}{z^n+1}$ 展開成部分分式：

$$ \sum_{\omega^n+1=0} \frac{c_k}{z-\omega} $$

為顯現其中 $c_k$ 即為 $f(z)$ 在 $\omega_k$ 的留數，我們引進留數的定義/留數定理：

$$ \text{Res}(f,\omega_k) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_k}f(z)dz \equiv \frac{I}{2\pi i} $$

其中 $C_k$ 為以 $\omega_k$ 為圓心的一半徑極小逆時針圓曲線。將此線積分分成包圍住 $\omega_k$ 與落在外圍的 $\omega_j$ 部分：

$$ I = \lim_{r \rightarrow 0} \oint_{C_k}\frac{c_k}{z-\omega_k} + \sum_{j \neq k}\oint_{C_k}\frac{c_j}{z-\omega_j} \equiv I_1 + I_2 $$

接下來做參數化以求解兩線積分：

$$ \begin{align*} z &= \omega_k + re^{i\theta}\\ dz &= ire^{i\theta}d\theta \end{align*} $$

$$ \begin{align*} I_1 &= \lim_{r \rightarrow 0} \int_0^{2\pi}\frac{c_k \cdot ire^{i\theta}}{re^{i\theta}} d\theta= 2\pi i c_k\\ \\ I_2 &= \lim_{r \rightarrow 0} \sum_{j \neq k}\int_0^{2\pi} \frac{c_j \cdot ire^{i\theta}}{\omega_k + re^{i\theta} -\omega_j}d\theta = \lim_{r \rightarrow 0} \sum_{j \neq k} r \left(\int_0^{2\pi} \frac{c_j \cdot ie^{i\theta}}{\omega_k + re^{i\theta} -\omega_j}d\theta \right) = 0 \end{align*} $$

$$ \text{Res}(f,\omega_k) = \frac{1}{2\pi i} \left( I_1 + I_2 \right) = \frac{1}{2\pi i} (2\pi i c_k + 0) = c_k\ _\blacksquare $$

後記

這樣就不用依賴某奇怪公式，可以從複變的角度去解釋這一現象了，也可以推廣到其它積分上。

感謝 @meep，解惑了一個大大大疑問，果然數學還是要問數學系 uwub。